偏微分方程及其应用中心

主 任:曹道民、林芳华

副主任:张 波 张 平

成 员:丁夏畦 曹道民 丁祥茂 丁 璐 黄飞敏 韩丕功 刘润球 张 波 曹周键 李 竞 张晓轶 王 益 刘晓东 丁彦恒 吉 敏 李嘉禹 张立群 张 平 张志涛 王友德 郝成春 霍朝辉 李天虹 李 翀 林芳华 陈贵强 李岩岩 辛周平

学术委员会主任:丁夏畦

委 员:郭柏灵 林芳华 辛周平 李岩岩 陈贵强 肖 玲 王靖华 常谦顺 王世坤 吉 敏 王友德 李嘉禹 江 松 曹道民 黄飞敏 张 波 张 平 丁彦恒 刘润球

基本情况

>> 2012年偏微分方程及其应用中心成员主要在下面几个方面开展工作:流体力学中的偏微分方程、变分方法及其在偏微分方程的应用、电磁反散射问题和机器学习及其应用、爱因斯坦方程计算。

>> 2012年偏微分方程及其应用中心成员共发表论文 53篇,其中近一半在权威刊物上发表,如 Arch. Rat. Mech. Anal., Comm. Pure Appl. Math., J. Diff. Equat., J.Funct.Anal., Inverse Problems,Physical Review D, SIAM J. Applied Math., SIAM J. Math.Anal., Trans. Amer. Math. Soc.等。

>> 中心主办了流体中的偏微分方程研讨会, 邀请了30位国内外学者来中心作学术报告。

>> 中心成员曹道民,黄飞敏,张立群和丁彦恒与香港中文大学辛周平,魏军城教授一起,受俅槎基金会资助,成立了俅槎基金会-中科院联合试验室。

主要成果

1.在反散射问题研究方面:

>> 提出了研究非齐次介质背景下一般界面反演问题唯一性的新方法。对于无穷界面及其掩埋物体反演问题的唯一性,已有的方法都很难或无法适用,需要引进全新的方法。为此,1)提出了通过构造适定的局部内部传输问题来证明非齐次介质背景下一般界面反演问题唯一性的新方法,首次解决了散射解在界面上无间断情形(即透射系数为1)界面被远场数据唯一确定的这一长期开问题;对散射解在界面上有间断情形(即透射系数不为1),给出了界面反演问题唯一性的简化证明。与已有方法不同,该方法可以对声波和电磁波情形进行统一处理,同时,还可以处理无穷界面散射的反问题 (J Yang, B Zhang, H Zhang, Uniqueness in inverse acoustic and electromagnetic scattering by penetrable obstacles, Submitted to SIAM J Math Anal)。2)利用该方法给出了通过近场测量数据可以同时重构无穷界面及其掩埋物体的第一个唯一性结果(Y Lu, B Zhang, Direct and inverse scattering problems by an unbounded rough interface with buried obstacles, Preprint)。

>> 研究了分层介质中反散射问题的数值反演算法。建立了在包含未知散射障碍情形下重构间断界面的分解法(Factorization Method)(J Yang, B Zhang, H Zhang, The factorization method for reconstructing a penetrable obstacle with unknown buried objects, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol.73, 2013, 617-635);在散射障碍物理性质未知的情形下,提出了第一个同时重构间断界面及其包含的障碍的Newton迭代方法,该方法还可以同时确定障碍的物理性质(即障碍的边界条件),而已有的迭代方法都需要事先知道未知障碍的物理性质(H Zhang, B Zhang, A Newton method for a simultaneous reconstruction of an interface and a buried obstacle from far-field data, Inverse Problems, Vol.29, 2013, 045009 (21pp))。

2.在不可压缩Navier-Stokes方程方面:

>> 不可压缩Navier-Stokes方程描述、刻划了自然界中粘性流体(又称真实流体)流动的基本力学规律,在流体力学中具有十分重要的意义,是当今非线性科学研究中的重点和热点问题,该方程本身不能做任何的改动,研究起来有极大的困难。关于Navier-Stokes方程,主要得到了如下结果:

1)在半空间维数不小于二的情况下,研究了不可压缩的Navier-Stokes方程解在临界情形下的大时间行为。由于投影算子在这种临界空间上是无界的,常用的方法不再起作用。利用偶延拓和Fourier分析的方法,对投影算子作用在Navier-Stoke方程的非线性项上发现了一种新的分解,经过仔细的分析运算,得到了Navier-Stokes方程解在端点空间中的加权衰减速。

2)在外区域上,研究了不可压缩的Navier-Stokes方程解的大时间行为。在净外力在边界上不为零的情况下,利用Stokes方程的基本解、分数阶的Stokes算子和半群理论建立了Navier-Stokes方程解在L^1空间和加权空间中的大时间渐进行为,极大地改进了已有的的结果。

3.在爱因斯坦方程计算理论和物理应用方面:

>> 在爱因斯坦方程计算的理论方面,第一次在离散化层次上给出了爱因斯坦方程数值计算的稳定性证明。其中提出的新的离散化格式,给稳定性研究提供了方便,另外还结合数值计算给出了对爱因斯坦方程标准的Baumgarte-Shapiro-Shibata- Nakamura(BSSN)方程形式作进一步改进的可能。我们的结果表明,对BSSN的方程主部做一定的修正有希望使计算准确性得到提高。针对爱因斯坦方程计算稳定性,我们对BSSN方程的非线性部分作了进一步的修订,增强了其数值计算稳定性。这些结果以两篇论文的方式发表在Physical Review D上。

>> 在边界条件方面,我们提出了和爱因斯坦方程一致,并且使初边值问题适定的边界条件。其中很关键的一步是对原本爱因斯坦方程计算形势BSSN的修改。由于这个理论只能应用于光滑的边界,于是进一步发展我们了软件包AMSS-NCKU,使其支持方形和球形的混合网格结构。在此基础上把上述的边界条件在数值计算上得以实现。并发现这一系列的改进,对双黑洞数值计算的精确度提高10倍以上。

>> 在物理应用方面,应用自己发展的软件包AMSS-NCKU对正负质量的双黑洞对进行了数值研究。关于正负质量相互作用的双黑洞系统,理论上长期争论该系统是否具有牛顿极限的行为。对该问题,从数值计算的全新角度给出了支持其具有牛顿极限行为的判定性结果。这个结果发表在International Journal of Modern Physics D上。

学术活动

>> 2012年12月偏微分方程及其应用中心举办流体中的偏微分方程研讨会,国内知名学者苗长兴,邹文明,王亚光,韩国首尔大学的Seung-Yeal Ha及中心的部分科研人员在会上作了学术报告,介绍了各自所取得的最新成果。

>> 2012年中心共邀请了近30多位国内外学者来中心作学术报告,这些学者中有华东师范大学周风教授,英国牛津大学Chen Guiqiang, 韩国首尔大学Seung-Yeal Ha,Li Yanyan(Rutgers University,USA)、王德华教授(University of Pittsburgh), Li Bo(UC San Diego,USA),Li Dong (University of British Columbia,Canada), Liu Hailiang(Iowa State University,USA),Liu Tai-Ping(University of Stanford USA),Feng Xiaobing( The University of Tennessee,USA), Wang Haiyan ( Arizona State Univ, USA),韩国的Hyeong-Ohk Bae(Ajou University),Zhang Yaozhong(The University of Queensland, Australia),法国的Lorenzo Brandolese(Lyon University)等教授。

获奖情况

>> 曹周键获数学院“陈景润未来之星”,张波的博士研究生杨家青获中科院院长奖学金优秀奖,张波的博士研究生张海文获数学研究院院长奖学金优秀奖、中科院大学国家奖学金,曹道民的博士研究生刘忠原获得数学与系统科学研究院院长奖学金优秀奖、中科院大学国家奖学金。

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