无相位远场数据反散射问题的唯一性与成像算法

2019-01-07 | 撰稿: | 浏览:

基于完备远场数据的反散射问题在近35年有大量的研究(Colton-Kress, 2013)。然而,在许多实际应用问题中,远场测量数据的相位很难甚至无法得到,因此,人们只能得到远场测量数据的强度或模,也就是无相位远场数据。对于此类反散射问题,由于散射体任意平移前后所对应的无相位远场数据相同(称为无相位远场数据的平移不变性),因此,利用无相位远场数据只能重构散射体的形状而无法重构其位置。此外,即使利用多个入射方向或波数,这一问题仍然无法解决(Kress-Rundell, 1997)。

为了解决这一问题,张波研究员和张海文助理研究员于2017年提出了利用两个平面波的叠加作为入射场(而不是通常的只用一个平面波作为入射场)的新思路,并证明了在多个波数情形下由两个平面波的叠加作为入射场产生的无相位远场数据不满足平移不变性,并利用此结果,提出了一种基于多波数无相位远场数据的逐次Newton迭代算法,可以同时重构散射体的位置和形状(见论文[1])。这一工作开辟了解决无相位远场数据反散射问题这一长期公开问题的新途径。

2018年,基于我们2017年工作的新思路,我们进一步证明了在单波数情形下由无穷多组两个平面波的叠加作为入射场产生的无相位远场数据也不满足平移不变性,并基于此提出了利用单波数无相位远场数据快速重构散射体的一种快速、有效的直接成像法,该算法不需要知道散射体的物理性质(即边界条件),也不需要计算正问题;大量的数值模拟验证了该算法具有很强的抗噪音干扰性(见论文[2])。

上述工作说明了在新思路下研究无相位远场数据反散射问题的唯一性成为可能。然而,由于在完备数据反散射问题唯一性等数学问题的研究中起决定作用的Rellich引理对于无相位远场数据不再成立,因此,此类反散射问题的唯一性研究极其困难,迄今为止,还没有任何这方面的结果。

2018年,在已知散射物体的性质(如声软、非吸收阻尼或非吸收非均匀介质)但不知道其位置和形状的情形下,通过对远场数据对应的远场算子谱的性质的深入研究,我们和博士生徐小绪严格证明了在单波数情形下由无穷多组两个平面波的叠加作为入射场产生的无相位远场数据可以唯一确定散射物体的位置和形状或非吸收非均匀介质。这是无相位远场数据反散射问题的第一个唯一性结果(见论文[3])。进一步,我们通过在散射系统中引进一个已知的参考球,并借助于散射场的积分表示和Rellich引理成功地证明了上述唯一性结果在没有关于散射物体的性质的先验假设下仍然成立,从而彻底解决了声波情形的无相位远场数据反散射问题的唯一性这一长期公开问题(见论文[4])。

参考文献:

[1] Bo Zhang & H Zhang, Recovering scattering obstacles by multi-frequency phaseless far-field data, Journal of Computational Physics 345 (2017), 58-73.

[2] B Zhang & H Zhang, Fast imaging of scattering obstacles from phaseless far-field measurements at a fixed frequency, Inverse Problems 34 (2018) 104005 (24pp).

[3] X Xu, Bo Zhang & H Zhang, Uniqueness in inverse scattering problems with phaseless far-field data at a fixed frequency, SIAM Journal on Applied Mathematics 78(3) (2018), 1737-1753.

[4] X Xu, Bo Zhang & H Zhang, Uniqueness in inverse scattering problems with phaseless far-field data at a fixed frequency. II, SIAM Journal on Applied Mathematics 78(6) (2018), 3024-3039.

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